Zenone e la dimostrazione per assurdo

by gabriella

achille e la tartarugaI paradossi di Zenone di Elea, discepolo di Parmenide, sono il primo esempio che la filosofia abbia fornito di dimostrazione dialettica o per assurdo (reductio ad absurdum) di una tesi. Questo tipo di argomentazione logica consiste nell’assumere temporaneamente un’ipotesi e svilupparne le conseguenze così da giungere ad una conclusione assurda e dimostrare, di conseguenza, che l’assunto originale è errato.

Per difendere la logica eleatica contro le obiezioni del senso comune e la testimonianza dei sensi e ribadire la rigorosa argomentazione di Parmenide contro la realtà del divenire (se il divenire è totalmente altro rispetto all’essere, allora è non essere, nulla) Zenone avrebbe ideato 40 paradossi (parà, cioè “contro” la doxa, l’opinione corrente) a sostegno dell’unità e indivisibilità dell’essere.

Questo è lo schema generale del ragionamento di Zenone, come ci è stato trasmesso dal commentario di Simplicio (neoplatonico del VI secolo) alla Fisica di Aristotele:

Zenone assume che l’essere sia divisibile (l’essere parmenideo è infatti indivisibile): esso allora consterebbe di un certo numero di parti e il numero delle parti è finito o è infinito.

Consideriamo l’ipotesi che sia finito: allora è formato da n parti. Supponiamo che siano 2, A e B. Esse devono essere distinte l’una dall’altra, quindi deve esserci tra loro un elemento divisore (cioè un terzo elemento C) che permetta di distinguerle. Esso deve, a sua volta, essere distinto dalle parti che separa, perciò devono esserci altri elementi separatori distinti l’uno dall’altro: quindi il numero delle parti è infinito e ciò è in contraddizione con l’ipotesi iniziale.

Proviamo ora a ipotizzare che il numero delle parti sia infinito. In questo caso, o ogni parte è inestesa (cioè, la sua estensione, lo spazio che occupa, è nullo), oppure è estesa. Seguiamo il primo corno del dilemma: in questo caso, se le parti sono inestese, la loro grandezza complessiva è nulla, ma è assurdo pensare a un qualcosa che sia nulla, perchè la somma delle sue parti (nulle) è nulla. Seguiamo l’ipotesi opposta: se le parti sono estese, per quanto piccole sono “qualcosa”, ma la somma di infiniti qualcosa dà un risultato infinito e ciò è assurdo.

L’immagine sovrastante raffigura il paradosso di Achille, con il quale Zenone intendeva confutare la divisibilità dello spazio e del tempo. In questo paradosso, il corridore più rapido (Achille piè veloce) non raggiungerà mai il più lento (la tartaruga), perchè prima di raggiungere il traguardo dovrà raggiungere lo spazio occupato da quello più lento, il quale nel frattempo sarà avanzato di un piccolo vantaggio che Achille, successivamente, dovrà coprire, mentre la tartaruga continua ad avanzare e così via, all’inifinito. In uno spazio divisibile e molteplice, Achille, dunque, non raggiungerà mai la tartaruga.

paradossi Zenone

Achille Fiocchi, Una gara infinita

Agli antichi Greci le gare sportive piacevano molto. A questo gusto non si sottrasse nemmeno un filosofo, Zenone di Elea, che mise in scena la prima gara filosofica della storia: quella tra Achille e la tartaruga.

Achille sconfitto dalla tartaruga

Racconta Aristotele (è lui la nostra fonte, perché di Zenone sono rimasti pochi frammenti), che Zenone inventò il seguente argomento. Achille piè veloce, eroe greco dalla leggendaria velocità, sfida la tartaruga, il più lento tra gli animali. Ma subito commette un errore: per eccesso di nobiltà sportiva, le concede un certo vantaggio. Una volta partiti, Achille non riesce a raggiungere la tartaruga. Ogni volta che arriva nel punto in cui si trovava la tartaruga, questa è già avanzata. E così non riuscirà mai a raggiungerla e a sorpassarla. Questo argomento, spiega Aristotele, è quello per cui «il più lento mai sarà ripreso nella sua corsa dal più veloce» (I presocratici, a cura di A. Lami, Bur, Milano 2008).

Da millenni questo argomento, meglio noto come paradosso di Achille e la tartaruga, è oggetto di discussione. Zenone sa bene che Achille avrebbe facilmente sconfitto il povero rettile sul piano della realtà, ma ciò che intendeva dimostrare è che se si pensa la realtà come divisibile all’infinito, Achille, prima di aver raggiunto un certo punto, dovrà aver coperto la metà della distanza che lo separa dal traguardo, e la metà della metà e così via. Insomma, potrebbe essere un ottimo risultato il solo fatto che Achille e la tartaruga riescano a spostarsi lungo il terreno di gara (e in altri paradossi, in effetti, Zenone spiega che il movimento è impossibile). In buona sostanza, lo scopo di Zenone è mostrare che il mondo è irrazionale.

L’argomento di Zenone è stato citato molto spesso, sopratutto per essere confutato, dato che l’esperienza di tutti i giorni insegna che chi cammina di buon passo supera chi si attarda e che il movimento esiste, dato che ci spostiamo più volte al giorno. A che cosa si deve allora la fortuna di questo paradosso? Da un lato, esso attrae per il suo dispositivo logico ed è stato studiato da logici e matematici che hanno spiegato i suoi punti di forza e le sue debolezze. Dall’altro, è stato amato da molti filosofi che lo hanno inteso come una formulazione arguta di una convinzione: non si può spiegare questo mondo con la ragione.

Due confutazioni di Zenone

Il primo a confutare Zenone è stato Aristotele, per il quale, molto semplicemente, Zenone immagina qualcosa che non esiste, ossia un infinito in atto: in questo caso, le infinite parti che Achille dovrebbe superare per raggiungere la tartaruga. L’infinito, però, esiste solo in potenza, secondo Aristotele, e quindi Achille non avrà problemi a vincere la gara.

Per una confutazione matematica, ricorda Piergiorgio Odifreddi in C’era una volta un paradosso (Eiunaudi, Torino 2001) occorre invece aspettare molti secoli, fino a quando nel XVII secolo Gregorio di San Vincenzo applica alla vicenda di Achille e la tartaruga la nozione di convergenza di una serie infinita: se sommiamo una metà, un quarto, un ottavo e così via otteniamo 1. In questo modo Achille raggiunge matematicamente la tartaruga.

Una corsa tra tartarughe

A dispetto delle confutazioni, l’argomento di Zenone si ripresenta ciclicamente. Il filosofo francese Henry Bergson nell’opera Saggio sui dati immediati della coscienza (1899) vede nel paradosso di Zenone la denuncia di un’assurdità non tanto del mondo, ma del modo in cui la mente si raffigura lo spazio e il tempo. Di fatto, dal punto di vista di Bergson, con il paradosso di Zenone è come se scomponessimo il movimento di Achille e quello della tartaruga in un numero uguale di fotogrammi e poi li ricostruissimo come due film distinti. Tra i due film vi sarà una piena corrispondenza, come se i passi di Achille e quelli della tartaruga fossero sincronizzati: allora Achille sarà sconfitto, ma solo sulla base dell’errata manipolazione che la nostra mente ha fatto del movimento. Di fatto, astutamente, Zenone ha sostituito ad Achille un’altra tartaruga e l’ha fatta avanzare in modo simultaneo alla prima. E così la corsa è stata persa in partenza.

Bergson ritiene che l’errore di Zenone riguardi la natura del movimento: «ogni passo di Achille e ogni passo della tartaruga sono indivisibili in quanto movimenti» (Saggio, in Opere 1899-1896, Mondadori, Milano 1986, p. 66). I passi sono atti semplici e indivisibili, che coprono una certa distanza e non sono divisibili come lo spazio. I passi di Achille coprono più spazio in meno tempo di quelli della tartaruga, spiega Bergson, e l’eroe greco vince la gara

Da un paradosso all’altro

Il fascino di questa gara impossibile ha travalicato i limiti della filosofia. Lewis Carroll, l’autore di Alice nel paese delle meraviglie e scrittore molto amato dai filosofi per i suo racconti intrisi di logica, immagina che a corsa finita Achille abbia finalmente raggiunto la tartaruga, ma questa lo sottoponga a un nuovo dilemma, che riguarda non più il movimento, ma le regole del ragionamento: perché da due proposizioni, A e B, si possa dedurre Z, occorre accettare una proposizione D, che indica la regola di tale deduzione. Ma per accettare D, bisogna essere d’accordo con E, che dice che siamo d’accordo con A, B e D. Per accettare E, dovremo accettare F che dice che siamo d’accordo con A, B, D ed E e così via all’infinito. In realtà, Carroll è uscito dal paradosso di Zenone per crearne un altro. (Il paradosso inventato da Carrol si può leggere in D. Hofstadter, Gödel. Escher, Bach, Adelphi, Milano 1984, ma si trova facilmente anche sui siti di appassionati di logica)

Da paradosso logico a metafora esistenziale

Che la gara iniziata più di due millenni fa non sia ancora finita (almeno a livello intellettuale) lo segnala un film del regista giapponese Takeshi Kitano, intitolato Achille e la tartaruga (2008), in cui un pittore cerca disperatamente di raggiungere il successo che sembra sempre a portata di mano ma si rivela irraggiungibile. E così, da rompicapo logico la gara tra Achille e la tartaruga è diventata la metafora di un dramma esistenziale.


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